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고정소수점에서 2차원 벡터의 크기, 정규화된 벡터 계산하는 방법

DOOM에서 배우는 vector.length(), vector.normalize()

개요

게임을 만들면 벡터를 쓰게 된다. 그리고 벡터 클래스에서 2가지 기능은 끝도 없이 사용하게 된다. 하나는 정규화된 벡터(Normalized vector)를 구하는 것이고 다른 하나는 벡터의 길이이다.

DOOM을 만든 아저씨는 sqrt()가 느리다고 Fast inverse square root를 만들어낸 존 카멕 아저씨다. DOOM보다 훨씬 나중에 나온 Quake3에도 sqrt() 대신 흑마법을 사용했는데 DOOM에도 비슷한거 있지 않겠어? 고정소수점에서 어떻게 벡터의 정규화, 벡터의 길이를 구현했나 코드로 알아보자.

이 글을 읽기 전에 다음 글을 읽는것을 권장한다.

DOOM의 렌더리은 3차원이지만 내부 로직은 대부분 2차원 기준으로 굴러간다. 여기에서는 2차원 벡터에 대해서만 이야기한다.

vector.length()

벡터의 길이를 구하는 가장 간단한 방법은 sqrt()를 이용하는거다. c = sqrt(a*a + b*b) 이 방법은 DOOM에서 쓰기에는 두가지 문제가 있다.

첫번째 문제는 sqrt를 쓴다는거다. 보통 sqrt()Newton’s method를 이용해서 구현한다. 아래는 몇가지 sqrt 구현체이다. 둘다 주석에서 newton’s method를 언급한다.

newton’s method를 사용하면 sqrt() 내부에는 루프가 하나 들어간다. 게다가 루프 안에서 곱셈, 덧셈 같은걸 수행한다. 덕분에 sqrt()는 그렇게 빠른 함수가 아니다. 요즘은 컴퓨터가 좋으니까 심각한 문제 없지만 386, 486이면 이야기가 다를거다.

두번째 문제는 고정소수점의 정밀도이다. Q16.16을 사용하면 정수부는 2바이트뿐이다. a가 큰 값이면 a*a + b*b를 계산하다 고정소수점의 표현범위를 벗어날수 있다.

그래서 DOOM은 다른 방법으로 구현했다.

https://github.com/id-Software/DOOM/blob/master/linuxdoom-1.10/r_main.c#L391-L418

fixed_t
R_PointToDist
( fixed_t	x,
  fixed_t	y )
{
    int angle;
    fixed_t dx;
    fixed_t dy;
    fixed_t temp;
    fixed_t dist;

    dx = abs(x - viewx);
    dy = abs(y - viewy);

    if (dy>dx)
    {
        temp = dx;
        dx = dy;
        dy = temp;
    }

    angle = (tantoangle[ FixedDiv(dy,dx)>>DBITS ]+ANG90) >> ANGLETOFINESHIFT;

    // use as cosine
    dist = FixedDiv (dx, finesine[angle] );

    return dist;
}
  1. angle = atan2(y, x)
  2. distance = x / sin(angle)

벡터의 크기를 직접 구하는게 아니라 벡터에서 X축 성분만 이용했다. 충분히 빠르고 안에 루프문이 없는 atan2(y, x), sin()를 구현했으니까 이것을 이용한 함수도 충분히 빠르지 않겠어?

divied by zero?

vector.length() 구현에는 다음 코드에 들어있다.

dist = FixedDiv (dx, finesine[angle] );

각도가 0이면 sin(0) = 0, divided by zero 버그가 발생할수 있다. DOOM에서는 이를 어떻게 피했는가? sin(0) != 0으로 만들었다. DOOM의 sine lookup table에서는 0, -1, 1에 대응하는 값은 없다. sin(90deg)=1처럼 sine은 0이 아니더라도 cos(90deg)=0 이 될 수 있기 때문에 일부러 피한것으로 보인다.

// finesine[0] != 0
int finesine[10240] = { 25,75,125,175,226,276,326,376, ...}

fast vector.length()

요즘 세상에서는 벡터의 길이를 구하는 함수는 하나면 충분하다. 하지만 DOOM은 486 시대에 만들어서 그런지 벡터의 길이를 구하는 방법을 하나 더 만들었다. 정확한 값을 포기하고 벡터의 길이의 근사값을 구하는 매우 빠른 함수가 따로있다.

https://github.com/id-Software/DOOM/blob/77735c3ff0772609e9c8d29e3ce2ab42ff54d20b/linuxdoom-1.10/p_maputl.c#L43-L58

fixed_t
P_AproxDistance
( fixed_t	dx,
  fixed_t	dy )
{
    dx = abs(dx);
    dy = abs(dy);
    if (dx < dy)
        return dx+dy-(dx>>1);
    return dx+dy-(dy>>1);
}

벡터의 길이를 대충 계산하는지는 방법은 매우 간단하다. length = a + b/2 (단, a >= b). 그림으로 보면 간단하게 이해할 수 있다. 구현체에는 곱셈, 나눗셈도 없이 덧셈, 뺄셈, left shift정도만 사용했다. 빠르긴 진짜 빠르겠지.

AproxDistance

와…ㅁㅊ, id 소프트웨어는 무슨 어둠의 의회 같은덴가…. @debuggerD

vector.normalize()

Normalized Vector를 구하는 방법은 normalized_vector = vector / vector.length 이다. 위에서 벡터의 길이를 구하는 함수를 만들어냈으니 이것을 이용하면 normalized vector를 구할수 있을거다. 하지만 DOOM은 그런 방법을 선택하지 않았다.

https://github.com/id-Software/DOOM/blob/77735c3ff0772609e9c8d29e3ce2ab42ff54d20b/linuxdoom-1.10/p_enemy.c#L1050-L1074

exact = R_PointToAngle2 (actor->x, actor->y, dest->x, dest->y);

if (exact != actor->angle)
{
    if (exact - actor->angle > 0x80000000)
    {
        actor->angle -= TRACEANGLE;
        if (exact - actor->angle < 0x80000000)
            actor->angle = exact;
    }
    else
    {
        actor->angle += TRACEANGLE;
        if (exact - actor->angle > 0x80000000)
            actor->angle = exact;
    }
}

exact = actor->angle>>ANGLETOFINESHIFT;
actor->momx = FixedMul (actor->info->speed, finecosine[exact]);
actor->momy = FixedMul (actor->info->speed, finesine[exact]);
  1. angle = atan2(y, x)
  2. vector_x = sin(angle)
  3. vector_y = cos(angle)

충분히 빠르게 동작하는 atan2, sin, cos가 있으니까 그걸 썼다. 벡터의 정규화는 결국 방향이 원래 벡터와 같은 크기 1짜리 벡터를 만들어내는 과정이잖아? 벡터의 각도 알아내고 sin, cos로 x, y 성분 만들면 그게 곧 정규화된 벡터 아니겠는가?

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